수학 성적이 어느 순간부터 정체되는 학생들을 자세히 보면 공통점이 하나 있다. 문제를 풀긴 푸는데, “왜 이렇게 풀었는지”를 말로 설명하기가 어렵다. 반대로 성적이 꾸준히 올라가는 학생들은 정답을 맞히는 데서 멈추지 않고, 풀이의 흐름을 스스로 정리하고 설명하는 습관이 있다. 겉보기에는 비슷하게 문제를 푸는 것 같아도, 이 차이는 시간이 지날수록 엄청난 격차를 만든다. 왜냐하면 수학은 ‘정답 맞히기’보다 ‘재현 가능한 사고’를 쌓는 과목이기 때문이다. 이 글에서는 왜 풀이 설명력이 실력의 핵심이 되는지, 설명이 안 되는 공부가 왜 금방 무너지는지, 그리고 누구나 바로 적용할 수 있는 설명 훈련 루틴을 3개의 소제목으로 탄탄하게 정리한다.
설명이 안 되는 풀이는 ‘기억’이 아니라 ‘우연’에 가까워서 시험에서 흔들린다
문제를 맞혔는데도 다음에 비슷한 문제에서 또 막히는 학생들이 있다. 이 현상을 단순히 “복습을 안 해서”라고 보기 쉽지만, 더 근본적인 이유가 있다. 그 풀이는 머릿속에 ‘설명 가능한 형태’로 남아 있지 않기 때문이다. 다시 말해, 맞히긴 했지만 재현 가능한 사고가 아니라 그날의 감, 운, 혹은 우연한 선택으로 맞혔을 가능성이 크다.
설명 가능한 풀이라는 건 거창한 말이 아니다. “이 조건을 보고 이 개념을 선택했다”, “이 식을 세운 이유가 이것이다”, “여기서 이 변형이 가능한 이유가 이것이다”처럼 선택의 근거가 있는 풀이를 말한다. 이 근거가 없으면, 문제를 풀 때마다 선택이 흔들린다. 시험장처럼 긴장하고 시간이 촉박한 상황에서는 이런 흔들림이 그대로 점수 손실로 이어진다.
특히 고난도 문제는 ‘계산’이 어려운 게 아니라 ‘선택’이 어렵다. 어떤 방향으로 들어갈지, 어떤 조건을 먼저 잡을지, 무엇을 버리고 무엇을 유지할지가 핵심이다. 그런데 설명이 안 되는 학생은 이 선택을 통제하지 못한다. 반면 설명할 수 있는 학생은 선택의 기준이 있다. 그래서 같은 실력이라도 시험장에서 안정감이 다르게 나온다.
결론적으로 설명이 안 되는 풀이는 머릿속에 남지 않는다. 남아도 ‘절차’로 남지 않고 ‘인상’으로 남는다. 인상은 금방 휘발되고, 절차는 다시 꺼내 쓸 수 있다. 수학 성적의 안정성은 바로 이 절차의 보유량에서 갈린다.
풀이 설명력은 ‘말 잘하기’가 아니라 ‘선택을 기록하는 습관’에서 생긴다
풀이를 설명하라고 하면 많은 학생들이 부담을 느낀다. “내가 말로 표현을 못해서…”라고 생각하기도 한다. 하지만 수학에서 말하는 설명력은 말솜씨와 거의 관계가 없다. 핵심은 말을 잘하는 게 아니라, 풀이 과정에서 일어나는 ‘선택’을 의식하고 기록하는 습관이다.
대부분의 학생은 문제를 풀 때 선택을 자동으로 해버린다. 조건을 읽고, 갑자기 어떤 공식이 떠오르고, 계산을 시작한다. 이 흐름이 나쁘다는 뜻이 아니다. 문제는 선택을 자동으로 하면서도, 그 선택의 근거를 남기지 않는다는 점이다. 근거를 남기지 않으면, 나중에 같은 상황이 왔을 때 똑같이 선택하지 못한다.
풀이 설명력이 높은 학생들은 다르게 움직인다. 문제를 풀다가도 ‘갈림길’을 인지한다. 예를 들면 이런 순간이다. “이 문제는 식으로 갈까, 그래프로 갈까?”, “대입으로 풀까, 변형해서 정리할까?”, “이 조건은 지금 쓰는 게 맞나, 마지막에 쓰는 게 맞나?” 이런 갈림길에서 선택을 한 뒤, 아주 짧게라도 이유를 붙인다. 단 한 줄이면 충분하다. “조건이 단순해서 식으로 간다”, “부등식이라 범위가 중요하니 케이스를 나눈다” 같은 식이다.
이 한 줄이 쌓이면, 설명력은 자연스럽게 만들어진다. 더 중요한 건 이 습관이 오답을 바꾸는 방식까지 바꾼다는 점이다. 오답을 봤을 때 “왜 틀렸지?”로 끝나는 게 아니라 “어떤 선택이 위험했지?”로 분석하게 된다. 이렇게 되면 오답은 단순한 실패 기록이 아니라 선택 기준을 교정하는 자료가 된다. 실력이 빨리 느는 학생들이 결국 ‘선택’ 단위로 공부를 하는 이유가 여기에 있다.
설명력을 키우는 가장 현실적인 루틴: ‘한 문장 계획 → 한 문장 근거 → 한 문장 복기’
풀이 설명력을 키우는 데 긴 시간이 필요하다고 생각하기 쉽지만, 오히려 짧고 반복 가능한 루틴이 효과가 크다. 핵심은 매 문제마다 거창한 해설을 쓰는 게 아니라, 딱 세 문장만 남기는 것이다. 이 정도면 부담이 적고, 그래도 실력 변화는 확실하게 체감된다.
첫째, 풀기 전에 한 문장 계획을 쓴다. “이 문제는 (조건) 때문에 (개념/전략)으로 간다” 정도면 충분하다. 예를 들어 “절댓값이 있으니 0 기준으로 구간을 나눠 본다”, “그래프 조건이 있으니 먼저 교점/대칭을 확인한다”처럼 방향만 잡아도 된다. 이 문장은 틀려도 괜찮다. 계획이 틀렸다면, 그 지점이 바로 약점이 드러난 순간이다.
둘째, 풀이 중 가장 큰 선택 하나에 한 문장 근거를 붙인다. 모든 과정을 다 설명하려 하면 지친다. 대신 가장 중요한 갈림길 하나만 고르면 된다. “여기서 미분을 선택한 이유: 최댓값/최솟값 조건을 빠르게 잡기 위해”, “여기서 치환을 선택한 이유: 식이 반복 구조라 정리가 쉬워서” 같은 식이다. 이 근거가 쌓이면, 다음에 비슷한 문제를 만났을 때 선택이 빨라지고 흔들림이 줄어든다.
셋째, 문제를 푼 뒤 한 문장 복기를 남긴다. “다음에 같은 유형이면 무엇을 먼저 확인할까?”에 답하면 된다. 예를 들어 “조건이 길면 끝 문장부터 다시 확인”, “구하는 값에 동그라미 치고 끝까지 유지”, “정의역 제한 먼저 체크”처럼 행동 지침으로 남겨야 한다. 이 한 문장이 다음 문제에서 경고등 역할을 한다.
이 루틴을 일주일만 적용해도 변화가 보인다. 문제를 풀 때 ‘멈추는 순간’이 생기고, 그 멈춤이 낭비가 아니라 사고의 기준을 세우는 시간으로 바뀐다. 성적은 최고점을 올리기보다 최저점을 끌어올릴 때 더 빨리 안정된다. 풀이 설명력은 바로 그 최저점을 끌어올리는 가장 현실적인 기술이다.